Question

已知等差數(shù)列{a_n}滿足：a₃=7，a₅+a₇=26．{a_n}的前n項和為S_n．
（1）求a_n及S_n；
（2）令bn=

an

3n

(n∈N*)，求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)已知，利用基本量a₁，d表示，求出等差數(shù)列的首項和公差，進而可求通項及前n項和
（Ⅱ）先寫出b_n通項公式，可以看出數(shù)列{b_n}是由等差數(shù)列和等比數(shù)列的積構(gòu)成，因此采取錯位相減求和．

解答：解：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}，公差為d
∵a₃=7，a₅+a₇=26
∴

a1+2d=7 2a1+10d=26

解得a₁=3，d=2
∵an=a1+(n-1)d，Sn=

n(a1+an)

2

∴a_n=2n+1，S_n=n（n+2）（4分）
（2）由（1）知bn=

2n+1

3n

∴Tn=3•

1

3

+5• 

1

32

 +…+ (2n+1)•

1

3n

1

3

Tn=3•

1

32

+5•

1

33

+…+(2n-1)•

1

3n

+(2n+1)•

1

3n+1

兩式相減可得，

2

3

T_n=1+2（

1

32

+

1

33

+…+

1

3n

）-

2n+1

3n+1

=1+2×

1 9 (1- 1 3n-1 )

1- 1 3

-

2n+1

3n+1

=

4

3

-

1

3n

-

2n+1

3n+1

∴Tn=2-

n+2

3n

（12 分）

點評：本題考查等差數(shù)列的通項公式以及數(shù)列求和的方法，對于數(shù)列求和的方法要根據(jù)數(shù)列的特點采取不同求和方法，像本題中數(shù)列{b_n}是由等差數(shù)列和等比數(shù)列的積構(gòu)成，因此采取錯位相減的求和方法．