Question

正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分別是BC、C₁D₁的中點(diǎn)．求證：
（1）平面D₁AC⊥平面B₁D₁BD；  
（2）直線EF∥平面D₁AC．

Answer 1

分析：（1）欲證平面D₁AC⊥平面B₁D₁BD，只需證明平面D₁AC經(jīng)過平面B₁D₁BD的一條垂線即可，根據(jù)正方體的性質(zhì)，易證平面D₁AC中的直線AC垂直平面B₁D₁BD．
（2）欲證直線EF∥平面D₁AC，只需證明直線EF平行于平面D₁AC上一條直線即可，根據(jù)E，F(xiàn)分別為BC、C₁D₁的中點(diǎn)，可證明四邊形D₁FEO為平行四邊形，從而得到EF平行于平面D₁AC中的直線D₁O．則直線EF∥平面D₁AC．

解答：解：（1）∵在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，B₁B⊥平面ABCD，∴B₁B⊥AC
又∵AC⊥BD，BD∩B₁B=O，∴AC⊥平面平面B₁D₁BD，
∴平面D₁AC⊥平面B₁D₁BD
（2）連接OE，D₁O，∵O，E分別為BC，BD中點(diǎn)，∴OE∥

1

2

BC，
∵DC∥D₁C，F(xiàn)為D₁C的中點(diǎn)，∴D₁F∥

1

2

BC，
∴OE∥D₁F，且OE=D₁F，
∴四邊形D₁FEO為平行四邊形，
∴EF∥D₁O，又∵D₁O?平面D₁AC，
∴直線EF∥平面D₁AC．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了正方體中面面垂直，線面垂直的證明，綜合考查了學(xué)生的空間想象力，識(shí)圖能力，以及計(jì)算能力．