Question

4．如圖所示的多面體ABCDEF，四邊形ABCD是邊長為2的正方形，面BDFE⊥面ABCD，四邊形BDFE為矩形，BE長為a，M為AE的中點(diǎn)，AC∩BD=O．
（1）求證：OM∥平面ADF；
（2）若BF⊥AE，求三棱錐E-BOM的體積．

Answer 1

分析 （1）取AF中點(diǎn)N，連接MN，DN，由三角形中位線定理及平行公理可得四邊形MNDO為平行四邊形，則OM∥ND，再由線面平行的判定可得OM∥平面ADF；
（2）由面BDEF⊥面ABCD，正方形ABCD中AC⊥BD，可得AC⊥平面BDEF，則AC⊥BF，再由BF⊥AE，得BF⊥OE，求得a=2，然后利用等積法求三棱錐E-BOM的體積．

解答 （1）證明：取AF中點(diǎn)N，連接MN，DN，
∵M(jìn)為AE的中點(diǎn)，
則$MN∥EF，MN=\frac{1}{2}EF，OD∥EF，OD=\frac{1}{2}EF$，
∴MN∥OD，MN=OD，
∴四邊形MNDO為平行四邊形，
∴OM∥ND，
∵ND?平面ADF，OM?平面ADF，
∴OM∥平面ADF；
（2）解：∵面BDEF⊥面ABCD，正方形ABCD中AC⊥BD，
∴AC⊥平面BDEF，則AC⊥BF，
若BF⊥AE，則BF⊥平面ACE，BF⊥OE，
在矩形BDEF中，得a=2，
∴${V_{E-BOM}}={V_{A-BOM}}={V_{M-AOB}}=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×AO×BO×\frac{BE}{2}=\frac{1}{3}$．

點(diǎn)評 本題考查直線與平面垂直的判定，考查空間想象能力和思維能力，訓(xùn)練了利用等積法求多面體的體積，是中檔題．