Question

如圖，在多面體ABCDEF中，四邊形ABCD是正方形，EF∥AB，EF⊥FB，AB=2EF，∠BFC=90°，BF=FC，H為BC的中點(diǎn)．
(Ⅰ)求證：FH∥平面EDB；
(Ⅱ)求證：AC⊥平面EDB；
(Ⅲ)求二面角B-DE-C的大�。�

Answer 1

(Ⅰ)證明：設(shè)AC與BD交于點(diǎn)G，則G為AC的中點(diǎn)， 連EG，GH，又H為BC的中點(diǎn)， ∴， 又， ∴， ∴四邊形EFHC為平行四邊形， ∴EC∥FH，而EG平面EDB， ∴FH∥平面EDB。 (Ⅱ)證明：由四邊形ABCD為正方形，有AB⊥BC， 又EF∥AB， ∴EF⊥BC，而EF⊥FB， ∴EF⊥平面BFC， ∴EF⊥FH，∴AB⊥FH， 又BF=FC，H為BC的中點(diǎn)， ∴FH⊥BC， ∴FH⊥平面ABCD，∴FH⊥AC， 又FH∥EG，∴AC⊥EG， 又AC⊥BD，EG∩BD=G， ∴AC⊥平面EDB。 (Ⅲ)解：EF⊥FB，∠BFC=90°， ∴BF⊥平面CDEF，在平面CDEF內(nèi)過點(diǎn)F作FK⊥DE交DE的延長線于K， 則∠FKB為二面角B-DE-C的一個(gè)平面角， 設(shè)EF=1，則AB=2，F(xiàn)C=，DE=， 又EF∥DC， ∴∠KEF=∠EDC， ∴， ∴， ∴∠FKB=60°， ∴二面角B-DE-C為60°。