Question

12．已知函數(shù)y=sin²x+2sinxcosx+3cos²x，x∈R
（1）求函數(shù)的最小正周期；
（2）求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；
（3）求x取何時，函數(shù)取得最大值為多少．

Answer 1

分析 （1）利用三角函數(shù)的倍角公式進行化簡，結(jié)合三角函數(shù)的周期公式即可求函數(shù)的最小正周期；
（2）結(jié)合三角函數(shù)的單調(diào)性即可求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；
（3）利用三角函數(shù)的有界性即可求出函數(shù)的最大值．

解答 解：將y=sin²x+2sinxcosx+3cos²x，x∈R，整理得$y=sin2x+cos2x+2=\sqrt{2}sin（2x+\frac{π}{4}）+2$．
（1）函數(shù)的最小正周期$T=\frac{2π}{2}=π$；
（2）由函數(shù)為增函數(shù)，則由$2kπ-\frac{π}{2}≤2x+\frac{π}{4}≤2kπ+\frac{π}{2}$，k∈Z．得$kπ-\frac{3π}{8}≤x≤kπ+\frac{π}{8}$，k∈Z．
那么函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是$[kπ-\frac{3π}{8}，kπ+\frac{π}{8}]$，k∈Z．
（3）$令2x+\frac{π}{4}=2kπ+\frac{π}{2}，解得x=kπ+\frac{π}{8}，k∈Z$，
此時函數(shù)取到最大值為$\sqrt{2}+2$．

點評 本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用三角函數(shù)的倍角公式進行化簡是解決本題的關(guān)鍵．