Question

19．已知集合M是滿足下列性質(zhì)的函數(shù)f（x）的全體：存在非零常數(shù)T，使得對(duì)任意的實(shí)數(shù)x，有f（x+T）=Tf（x）成立．
（1）證明：f（x）=x²不屬于集合M；
（2）設(shè)f（x）∈M，且T=2．已知當(dāng)1＜x＜2時(shí)，f（x）=x+lnx，求當(dāng)-3＜x＜-2時(shí)，f（x）的解析式．

Answer 1

分析 （1）利用反證法，假設(shè)f（x）∈M，則f（x+T）=Tf（x），即（x+T）²=Tx²對(duì)任意的x恒成立，推出T無解，即假設(shè)不成立，肯定結(jié)論．
（2）將-3＜x＜-2轉(zhuǎn)化為1＜x+4＜2，利用當(dāng)1＜x＜2時(shí)，f（x）=x+lnx，即可求得f（x+4）的解析式，再利用f（x+T）=Tf（x），即可求得f（x）的解析式

解答 （1）證明：假設(shè)f（x）∈M，則f（x+T）=Tf（x），即（x+T）²=Tx²對(duì)任意的x恒成立，
即（1-T）x²+2Tx+T²=0對(duì)任意的x恒成立．
∴$\left\{\begin{array}{l}{1-T=0}\\{2T=0}\\{{T}^{2}=0}\end{array}\right.$．
∴T∈∅．
假設(shè)錯(cuò)誤，所以f（x）=x²不屬于集合M．
（2）∵-3＜x＜-2，
∴1＜x+4＜2，
∴f（x+4）=x+4+ln（x+4），
∵存在非零常數(shù)T，使得對(duì)任意x∈R，有f（x+T）=Tf（x）成立，
∴令T=2，
∴f（x+4）=f[（x+2）+2]=2f（x+2）=4f（x），
∴f（x）=$\frac{1}{4}$[x+4+ln（x+4）]，
∴當(dāng)-3＜x＜-2時(shí)，f（x）的解析式是f（x）=$\frac{1}{4}$[x+4+ln（x+4）]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了抽象函數(shù)及其應(yīng)用，反證法，函數(shù)解析式的求解及常用方法，求函數(shù)解析式常見的方法有：待定系數(shù)法，換元法，湊配法，消元法等．屬于中檔題