Question

已知二次函數(shù)

（1）若試判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)；

（2）若對任意的,且＜，（＞0），試證明：

＞成立。

（3）是否存在，使同時(shí)滿足以下條件：①對任意，，且②對任意的,都有？若存在，求出的值，若不存在，請說明理由。

 

Answer 1

【答案】

(1) 零點(diǎn)為1個(gè)或2個(gè);(2)見解析；(3) 。

【解析】

試題分析：（1）∵f（-1）=0，∴a-b+c=0即b=a+c，故△=b²-4ac=（a+c）²-4ac=（a-c）^2，

當(dāng)a=c時(shí)，△=0，函數(shù)f（x）有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)a≠c時(shí)，△＞0，函數(shù)f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)．

（2）-=

==

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013011315255124585170/SYS201301131526250427149573_DA.files/image007.png">＜，（＞0）所以>0,即->0,

所以＞成立。

（3）假設(shè)存在a，b，c滿足題設(shè)，由條件①知拋物線的對稱軸為x=-1且f(x)_min=0；∴即，所以a=c,在條件②中令x=1，有0≤f（1）-1≤0，∴f（1）=1，即a+b+c=1，由得，所以存在使f(x)同時(shí)滿足條件①②。

考點(diǎn)：本題考查函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系。

點(diǎn)評：本題考查函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)與方程根的個(gè)數(shù)問題，以及存在性問題的處理方式，屬于較難的題目．主要分析思路（1）通過對二次函數(shù)對應(yīng)方程的判別式進(jìn)行分析判斷方程根的個(gè)數(shù)，從而得到零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；（2）存在性問題的一般處理方法就是假設(shè)存在，然后根據(jù)題設(shè)條件求得參數(shù)的值．