Question

已知圓C：x²+y²=4
（1）直線l過點p（1，2），且與圓C交于A、B兩點，若|AB|=2

3

，求直線l的方程．
（2）過點P（1，2）作圓C的切線，切點分別為M，N．求△PMN外接圓的方程．

Answer 1

考點：直線與圓的位置關系

專題：計算題,直線與圓

分析：（1）分類討論：①當直線l垂直于x軸時；②若直線l不垂直于x軸．對于②，設其方程為y-2=k（x-1），結合直線與圓的位置關系利用弦長公式即可求得k值，從而解決問題．
（2）設動點P（x，y），M（x₀，y₀），則N（0，y₀），確定坐標之間的關系，再利用M點在圓上其坐標適合方程即可求得動點P的軌跡方程，最后利用方程的形式進行判斷是什么曲線即可．

解答： 解：（1）當k存在時，設直線l的方程為：y-2=k（x-1）------------------------------1分
即：kx-y+2-k=0
∵圓心C到直線l的距離d=

22-( 3 )2

=1
∴

|2-k|

k2+1

=1----------------------------------------------------------------------------1分
化簡得：4k-3=0，k=

3

4

---------------------------------------------------------1分，
∴直線l的方程為3x-4y+5=0
當k不存在時，x=1
與圓的兩個交點坐標為(1，±

3

)，其距離為2

3

，滿足題意-------------1分
綜上所述，所求直線l的方程為：3x-4y+5=0，x-1=0------------------2分
（2）設動點P（x，y），M（x₀，y₀），則N（0，y₀）---------------------------------------1分
∵平行四邊形OMPN，∴

x0=x y0= y 2

----------------------------------------------1分
又x02+y02=4，∴x2+

y2

4

=4------------------------------------------------2分
∵直線m∥x軸，∴y≠0
∴P點的軌跡方程是

x2

4

+

y2

16

=1(y≠0)--------------------------------------2分
軌跡是焦點坐標為F1(0，-2

3

)、F2(0，2

3

)，長軸為8的橢圓，
并去掉（±2，0），（0，±4）兩點．------------------------------------------2分．

點評：本小題主要考查直線的一般式方程、直線和圓的方程的應用、軌跡方程的解法等基礎知識，考查運算求解能力，考查數(shù)形結合思想、化歸與轉化思想．屬于中檔題．