Question

【題目】已知正項(xiàng)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿足，數(shù)列滿足，，且..

(1)求數(shù)列與的通項(xiàng)公式；

(2)求數(shù)列的前項(xiàng)的；

(3)將數(shù)列與的項(xiàng)相間排列構(gòu)成新數(shù)列，設(shè)新數(shù)列的前項(xiàng)和為，若對(duì)任意正整數(shù)n都有，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1),.

(2)

(3).

【解析】分析：1）根據(jù)得出的遞推公式，從而可判斷為等差數(shù)列，由題意可知為等比數(shù)列，計(jì)算出公比即可得出其通項(xiàng)公式；
（2）利用錯(cuò)位相減法可求數(shù)列的前項(xiàng)的；

(3)分別求出與的前n項(xiàng)和，相加即可得出；又，分離參數(shù)得出，設(shè)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，求出的最小值即可得出的取值范圍．

詳解：

（1），即

當(dāng)時(shí)

得

是以2為公差的等差數(shù)列

由得 數(shù)列是等比數(shù)列

數(shù)列的公比

（2）

得

（3）數(shù)列的前項(xiàng)和數(shù)列的前項(xiàng)和

又

設(shè)則

當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)單調(diào)遞增

又，當(dāng)時(shí)

..