Question

已知函數(shù)f（x）=x++m（p≠0）是奇函數(shù)．
（1）求m的值．
（2）當x∈[1，2]時，求f（x）的最大值和最小值．

Answer 1

解：（1）∵f（x）是奇函數(shù)，
∴f（-x）=-f（x）．
∴-x-+m=-x--m．
∴2m=0，
∴m=0．
（2）（ⅰ）當p＜0時，據(jù)定義可證明f（x）在[1，2]上為增函數(shù)．
∴f（x）_max=f（2）=2+，f（x）_min=f（1）=1+p．

（ⅱ）當p＞0時，據(jù)定義可證明f（x）在（0，]上是減函數(shù)，在[，+∞）上是增函數(shù)．
①當＜1，即0＜p＜1時，f（x）在[1，2]上為增函數(shù)，
∴f（x）_max=f（2）=2+，f（x）_min=f（1）=1+p．
②當∈[1，2]時，f（x）在[1，p]上是減函數(shù)．在[p，2]上是增函數(shù)．
f（x）_min=f（）=2．
f（x）_max=max{f（1），f（2）}=max{1+p，2+}．
當1≤p≤2時，1+p≤2+，f（x）_max=f（2）；
當2＜p≤4時，1+p≥2+，f（x）_max=f（1）．
③當＞2，即p＞4時，f（x）在[1，2]上為減函數(shù)，
∴f（x）_max=f（1）=1+p，f（x）_min=f（2）=2+．
分析：（1）由“f（x）=x++m（p≠0）是奇函數(shù)”，則有f（-x）=-f（x）成立，用待定系數(shù)法求解即可．
（2）要研究最值，首先要研究其單調(diào)性，可根據(jù)單調(diào)性定義證明，再研究相應區(qū)間上的最值．
點評：f（x）=x+（p＞0）的單調(diào)性是一重要問題，利用單調(diào)性求最值是重要方法．