Question

4．學校開展陽光體育活動，對學生的鍛練時間進行隨機抽樣調查，從中隨機抽取男、女生各25名進行了問卷調查，得到了如下列聯(lián)表：

鍛練時間	男生	女生	合計
少于1小時	5	15	20
不少于1小時	20	10	30
合  計	25	25	50

（Ⅰ） 根據上表數(shù)據求x，y，并據此資料分析：有多大的把握可以認為“鍛練時間與性別有關”？
（Ⅱ） 從這50名學生中用分層抽樣的方法抽取5人為樣本，求從該樣本中任取2人，
至少有1人鍛練時間少于1小時的概率．
K²=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$

P（K2≥K0）	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k0	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用對立檢驗的表格法則，填寫表格，可得x，y，利用公式求出得K²，推出有99.5%以上的把握認為“鍛練時間與性別有關”．
（Ⅱ）用分層抽樣的方法抽取一個容量為5的樣本，得到抽取了鍛練時間少于1小時2人，不少于1小時3人，分別記作A₁、A₂；B₁、B₂、B₃．寫出基本事件的情況，其至少有1人的鍛練時間少于1小時的基本事件的情況，然后求解概率．

解答 本題滿分（12分）．
解：（Ⅰ）

鍛練時間	男生	女生	合計
少于1小時	5	15	20
不少于1小時	20	10	30
合  計	25	25	50

x=15，y=20  …（2分）
由已知數(shù)據得K²=$\frac{50（{5×10-20×15）}^{2}}{20×30×25×25}$≈8.333＞7.879…（4分）
所以有99.5%以上的把握認為“鍛練時間與性別有關”…（6分）
（Ⅱ）用分層抽樣的方法抽取一個容量為5的樣本，所以抽取了鍛練時間少于1小時2人，不少于1小時3人，分別記作A₁、A₂；B₁、B₂、B₃．
從中任取2人的所有基本事件共10個：（A₁，B₁），（A₁，B₂），（A₁，B₃），（A₂，B₁），（A₂，B₂），（A₂，B₃），（A₁，A₂），（B₁，B₂），（B₂，B₃），（B₁，B₃）．…（8分）
其中至少有1人的鍛練時間少于1小時的基本事件有7個：（A₁，B₁），（A₁，B₂），
（A₁，B₃），（A₂，B₁），（A₂，B₂），（A₂，B₃），（A₁，A₂）．…（10分）
∴從中任取2人，至少有1人的鍛練時間少于1小時的概率為$\frac{7}{10}$．…（12分）

點評 本題考查對立檢驗，古典概型的概率的求法，考查計算能力．