Question

20．設(shè)定義域為（0，+∞）的單調(diào)函數(shù)f（x），對任意的x∈（0，+∞），都有f[f（x）-lnx]=1，若函數(shù)y=x（f（x）-2）+b有零點，則實數(shù)b的取值范圍是（　　）

• A． （0，1）
• B． （-∞，1]
• C． （2，3）
• D． [2，+∞）

Answer 1

分析 利用換元法t=f（x）-lnx，則f（x）=lnx+t，求出是的解析式，然后利用函數(shù)與方程之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的交點問題，利用參數(shù)分離法，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用進行求解即可．

解答 解：∵設(shè)定義域為（0，+∞）上的函數(shù)f（x）是單調(diào)函數(shù)，
∴設(shè)t=f（x）-lnx，則f（x）=lnx+t，
則函數(shù)條件于f（t）=1，
令x=t，
則f（t）=lnt+t=1，
則t=1，
即函數(shù)f（x）=lnx+1，
若y=x（f（x）-2）+b有零點，
則等價為y=x（f（x）-2）+b=0有解，
即f（x）-2=-$\frac{x}$，
即lnx-1=-$\frac{x}$，
即b=x-xlnx，
設(shè)g（x）=x-xlnx，x＞0，
則g′（x）=1-（lnx+x•$\frac{1}{x}$）=1-lnx-1=-lnx，
由g′（x）＞0得-lnx＞0，即lnx＜0，則0＜x＜1，此時函數(shù)單調(diào)遞增，
由g′（x）＜0得-lnx＜0，即lnx＞0，則x＞1，此時函數(shù)單調(diào)遞減，
即當(dāng)x=1時，函數(shù)g（x）取得極大值同時也是最大值g（1）=1-1×ln1=1，
則g（x）≤1，
要使b=x-xlnx有根，
則b≤1，
則實數(shù)b的取值范圍是（-∞，1]，
故選：B

點評 本題主要考查函數(shù)與方程的應(yīng)用，利用換元法先求出函數(shù)的解析式，利用參數(shù)分離法，轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的交點問題，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù) 的極值和最值是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強，難度較大．