Question

17．已知?x₀∈R使得關(guān)于x的不等式|x-1|-|x-2|≥t成立．
（Ⅰ）求滿足條件的實(shí)數(shù)t集合T；
（Ⅱ）若m＞1，n＞1，且對(duì)于?t∈T，不等式log₃m•log₃n≥t恒成立，試求m+n的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)絕對(duì)值的幾何意義求出t的范圍即可；（Ⅱ）根據(jù)級(jí)別不等式的性質(zhì)結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求出m+n的最小值即可．

解答 解：（I）令f（x）=|x-1|-|x-2|≥|x-1-x+2|=1≥t，
∴T=（-∞，1]；
（Ⅱ）由（I）知，對(duì)于?t∈T，
不等式${log}_{3}^{m}$•${log}_{3}^{n}$≥t恒成立，
只需${log}_{3}^{m}$•${log}_{3}^{n}$≥t_max，
所以${log}_{3}^{m}$•${log}_{3}^{n}$≥1，
又因?yàn)閙＞1，n＞1，
所以${log}_{3}^{m}$＞0，${log}_{3}^{n}$＞0，
又1≤${log}_{3}^{m}$•${log}_{3}^{n}$≤${（\frac{{log}_{3}^{m}{+log}_{3}^{n}}{2}）}^{2}$=$\frac{{{（log}_{3}^{mn}）}^{2}}{4}$（${log}_{3}^{m}$=${log}_{3}^{n}$時(shí)取“=”），
所以${{（log}_{3}^{mn}）}^{2}$≥4，
所以${log}_{3}^{mn}$≥2，mn≥9，
所以m+n≥2$\sqrt{mn}$≥6，
即m+n的最小值為6（此時(shí)m=n=3）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了絕對(duì)值的幾何意義，考查對(duì)數(shù)函數(shù)以及級(jí)別不等式的性質(zhì)，是一道中檔題．