Question

已知橢圓C：=1（a＞b＞0）的離心率，直線與以原點為圓心，以橢圓C的短半軸長為半徑的圓相切．
（I）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設M是橢圓的上頂點，過點M分別作直線MA，MB交橢圓于A，B兩點，設兩直線的斜率分別為k₁，k₂，且k₁+k₂=4，證明：直線AB過定點N（，-l）．

Answer 1

【答案】分析：（I）由離心率為得，由直線l與圓相切得=b，再由b²+c²=a²即可解得a，b值；
（Ⅱ）要證明直線AB過定點N（，-l），可證．設MA：y=k₁x+1，代入橢圓方程消掉y得x的二次方程，由韋達定理可表示點A坐標，同理可得點B坐標，由向量共線的條件可證；
解答：解：（I）由已知得：，解得，
故橢圓方程為：；
（Ⅱ）由（I）知M（0，1），設MA：y=k₁x+1，
由得：，
則，所以，
所以A（-，），同理可得B（-，），
所以=（，），，
所以•-===0，
故，所以A、B、N三點共線，即直線AB過定點N（-，-1）．
點評：本題考查橢圓方程、直線方程及其位置關系，考查向量在解析幾何中的應用，考查學生對問題的分析轉化能力，考查轉化思想．