Question

（2012•安徽模擬）如圖所示的多面體中，∠BAC=

π

2

，AB=AC=

2

，PA⊥面ABC，PA=1，M、D分別是所在線段的中點，PADN為矩形．
（I）求證：MN∥面PAC；
（II）求平面MNC與平面PAC所成銳二面角大小θ．

Answer 1

分析：（I）以A為原點，分別以AB、AC、AP為x、y、z軸建立空間右手直角坐標(biāo)系，利用向量法能夠證明MN∥面PAC．
（II）求出面MNC的一個法向量

n

=(-3，-1，

2

)和面PAC的一個法向

n

0=(1，0，0)，由此能求出平面MNC與平面PAC所成銳二面角大小θ．

解答：解：（I）以A為原點，分別以AB、AC、AP為x、y、z軸，
建立空間右手直角坐標(biāo)系，
∵∠BAC=

π

2

，AB=AC=

2

，PA⊥面ABC，PA=1，
M、D分別是所在線段的中點，PADN為矩形，
∴A(0，0，0)，B(

2

，0，0)，C(0，

2

，0)，
P(0，0，1)，M(

2

2

，0，

1

2

)，D(

2

2

，

2

2

，0)，N(

2

2

，

2

2

，1)．…（2分）
∵

MN

=(0，

2

2

，

1

2

)，

AB

=(

2

，0，0)，
∴

MN

•

AB

=0，
∵

AB

為面PAC的一個法向量，
∴MN∥面PAC．…（6分）
（II）∵N(

2

2

，

2

2

，1)，C（0，

2

，0），∴

NC

=(-

2

2

，

2

2

，-1)，
設(shè)面MNC的一個法向量為

n

=(x，y，z)，
由

n • MN =0 n • NC =0

⇒

2 2 y+ 1 2 z=0 - 2 2 x+ 2 2 y-z=0

，
取

x=-3 y=-1 z= 2

，則

n

=(-3，-1，

2

)．
取面PAC的一個法向量

n

0=(1，0，0)，
則cosθ=

| n • n 0|

| n || n 0|

=

3

2 3

=

3

2

，
∴θ=

π

6

．…（12分）

點評：本題考查直線與平面平行的證明，考查二面角的求法，解題時要合理地化空間問題為平面問題，注意向量法的合理運用．