Question

【題目】已知拋物線，不與坐標(biāo)軸垂直的直線與拋物線交于兩點，當(dāng)且時，.

（1）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若過定點，點關(guān)于軸的對稱點為，證明：直線過定點，并求出定點坐標(biāo).

Answer 1

【答案】（1）（2）見解析，定點.

【解析】

（1）根據(jù)直線和拋物線的相交的弦長公式建立方程即可求出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.
（2）根據(jù)對稱性設(shè)出，的坐標(biāo)，聯(lián)立方程求出直線的方程，結(jié)合方程進(jìn)行判斷即可.

（1）將拋物線方程和直線方程聯(lián)立，得，

消去得，由根與系數(shù)關(guān)系可得，，

則，

則，化簡得，解之得或（舍去），

故拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為；

（2）直線方程為，

設(shè)坐標(biāo)分別為.

因為點與點關(guān)于軸對稱，所以坐標(biāo)為，顯然點也在拋物線上.

設(shè)直線與軸交點的坐標(biāo)為.

由消去得.

所以，.

由于三點共線，則，

從而，化簡得，

又，

，

則，

故過定點.