Question

【題目】已知橢圓過點(diǎn)，是該橢圓的左、右焦點(diǎn)，是上頂點(diǎn)，且是等腰直角三角形.

（1）求的方程；

（2）已知是坐標(biāo)原點(diǎn)，直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，點(diǎn)在上且滿足四邊形是一個平行四邊形，求的最大值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）將點(diǎn)代入橢圓方程，結(jié)合，即可得出橢圓方程；

（2）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，利用橢圓方程得出；當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)出直線的方程，并代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理得出，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得出點(diǎn)坐標(biāo)，代入橢圓方程得出，由弦長公式化簡得出，再由，確定的最大值.

（1）由已知可得：結(jié)合，解得

∴橢圓方程為.

（2）①當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，方程為，代入橢圓得，此時(shí)；

②當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，方程為

聯(lián)立，整理得：

，即

設(shè)，由于四邊形是平行四邊形

∴

∴，故

又點(diǎn)在橢圓上，將其坐標(biāo)代入橢圓方程，整理得：

因此

顯然，當(dāng)時(shí)，取得最大值，且有.

綜上，取得最大值.