Question

已知數(shù)列{a_n}的前S_n項和為（a_n-S_n-1）²=S_n•S_n-1（n≥2），且a₁=1，a_n＞0．
（Ⅰ）求a₂的值，并證明{S_n}是等比數(shù)列；
（Ⅱ）設(shè)b_n=（-1）ⁿlog₂S_n，T_n=b₁+b₂+…+b_n，求T_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和

專題：計算題

分析：（ I）令n=2，得(a2-a1)2=(a1+a2)•a1，化簡得：a22-3a2=0求出a₂；由題意得(Sn-2Sn-1)2=Sn•Sn-1整理得：（S_n-S_n-1）（S_n-4S_n-1）=0

Sn

Sn-1

=4得出{S_n}是等比數(shù)列．
（ II）由（ I）知，Sn=4n-1求出bn=(-1)n(2n-2)通過對n分類討論求出和或用錯位相減法求和．

解答： 解：（ I）令n=2，得(a2-a1)2=(a1+a2)•a1，
化簡得：a22-3a2=0
∵a_n＞0，
∴a₂=3…（2分）
由題意得(Sn-2Sn-1)2=Sn•Sn-1…（4分）
整理得：（S_n-S_n-1）（S_n-4S_n-1）=0
∴a_n（S_n-4S_n-1）=0…（5分），
∴a_n＞0，∴

Sn

Sn-1

=4
∴{S_n}是等比數(shù)列                              …（7分）
（ II）由（ I）知，Sn=4n-1…（8分）
∴bn=(-1)n(2n-2)…（10分）

∴Tn=2×[0+1-2+3-4+…+(-1)n(n-1)] = 1-n，n為奇數(shù) n，n為偶數(shù) .

…（14分）

點評：本題主要考查了利用數(shù)列的遞推公式求解數(shù)列的通項公式，求解數(shù)列的和方法的應(yīng)用，屬于數(shù)列知識的綜合應(yīng)用．