Question

6．若0＜a＜b，且a^b=b^a，求a的范圍．

Answer 1

分析 取對數(shù)，設(shè)f（x）=$\frac{lnx}{x}$，則f'（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，f（x）在e的左邊嚴(yán)格單調(diào)遞增，在e的右邊嚴(yán)格單調(diào)遞減，即可得出結(jié)論．

解答 解：∵a^b=b^a，
∴$\frac{lnb}=\frac{lna}{a}$．
設(shè)f（x）=$\frac{lnx}{x}$，則f'（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，f（x）在e的左邊嚴(yán)格單調(diào)遞增，在e的右邊嚴(yán)格單調(diào)遞減，
∴a＜e，b＞e．最大值為f（e）=$\frac{1}{e}$，
當(dāng)x趨向于正無窮時，f（x）趨向于0．在e的右側(cè)，0＜f（x）＜$\frac{1}{e}$．
若要有解，則要求a要使得左邊的f（x）＞0．當(dāng)x=1時y=0，故1＜a＜e．

點評 本題考查對數(shù)知識的運用，考查導(dǎo)數(shù)知識，構(gòu)造函數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性是關(guān)鍵．