Question

15．已知函數(shù)f（x）=lnx+$\frac{a}{x}$，其中a∈R．
（1）討論函數(shù)g（x）=f′（x）-$\frac{x}{3}$的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；
（2）若函數(shù)φ（x）=xf（x）-a-$\frac{1}{2}$ax²-x有兩個(gè)極值點(diǎn)x₁，x₂，且x₁＜x₂，求證：x₁x₂＞e²（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．

Answer 1

分析 （1）求出g（x）的表達(dá)式，求出a=-$\frac{1}{3}$x³+x，設(shè)h（x）=-$\frac{1}{3}$x³+x（x＞0），根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出h（x）的極大值，通過(guò)討論a的范圍，求出函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即可；
（2）求出φ（x）的導(dǎo)數(shù)，得到lnx₁+lnx₂=$\frac{（1+\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}）ln\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}}{\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}-1}$，設(shè)t=$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明不等式lnt＞$\frac{2（t-1）}{t+1}$成立，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證出即可．

解答 （1）解：g（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{a}{{x}^{2}}$-$\frac{x}{3}$，令g（x）=0，得a=-$\frac{1}{3}$x³+x，
設(shè)h（x）=-$\frac{1}{3}$x³+x（x＞0），則h′（x）=-（x+1）（x-1），
由此得，h（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，+∞）上單調(diào)遞減，
所以h（x）的極大值為h（1）=$\frac{2}{3}$又h（0）=0，
故當(dāng)a＞$\frac{2}{3}$時(shí)，函數(shù)g（x）沒(méi)有零點(diǎn)；
當(dāng)a=$\frac{2}{3}$或a≤0時(shí)，函數(shù)g（x）有且只有一個(gè)零點(diǎn)；
當(dāng)0＜a＜$\frac{2}{3}$時(shí)，函數(shù)g（x）有兩個(gè)零點(diǎn)．
（2）證明：依題意x₁，x₂是方程φ′（x）=0的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
而φ（x）=xlnx-$\frac{1}{2}$ax²-x，
φ′（x）=lnx-ax，于是$\left\{\begin{array}{l}{l{nx}_{1}-{ax}_{1}=0}\\{l{nx}_{2}-{ax}_{2}=0}\end{array}\right.$①，
解得：a=$\frac{l{nx}_{1}+l{nx}_{2}}{{{x}_{1}+x}_{2}}$，
欲證：x₁x₂＞e²即證：lnx₁+lnx₂＞2，
由①作差得lnx₂-lnx₁=a（x₂-x₁）消去a得，$\frac{l{nx}_{2}-l{nx}_{1}}{{{x}_{2}-x}_{1}}$=$\frac{l{nx}_{1}+l{nx}_{2}}{{{x}_{1}+x}_{2}}$，
所以lnx₁+lnx₂=$\frac{（1+\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}）ln\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}}{\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}-1}$，
設(shè)t=$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$，∵x₂＞x₁＞0，∴t＞1，
故lnx₁+lnx₂=$\frac{（1+t）lnt}{t-1}$，（t＞1），
下面只需證明：當(dāng)t＞1時(shí)，不等式$\frac{（1+t）lnt}{t-1}$＞2成立，即不等式lnt＞$\frac{2（t-1）}{t+1}$成立．
設(shè)函數(shù)m（t）=lnt-$\frac{2（t-1）}{t+1}$，t＞1，
因?yàn)閙′（t）=$\frac{{（t-1）}^{2}}{{t（t+1）}^{2}}$＞0
所以m（t）為（1，+∞）上的增函數(shù)，故m（t）＞m（1）=0，
因此，當(dāng)t＞1時(shí)，有l(wèi)nt＞$\frac{2（t-1）}{t+1}$成立，
即lnx₁+lnx₂＞2成立，故x₁x₂＞e²．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、極值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及不等式的證明，是一道綜合題．