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如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E是棱DD1的中點(diǎn)，
(Ⅰ)求直線BE和平面ABB1A1所成的角的正弦值；
(Ⅱ)在棱C1D1上是否存在一點(diǎn)F，使B1F∥平面A1BE？證明你的結(jié)論．
解：設(shè)正方體的棱長為1，如圖所示，
以為單位正交基底建立空間直角坐標(biāo)系，
(Ⅰ)依題意，得，
所以，
在正方形ABCD-A1B1C1D1中，因?yàn)锳D⊥平面ABB1A1，
所以是平面ABB1A1的一個(gè)法向量，
設(shè)直線BE和平面ABB1A1所成的角為θ，
則，
即直線BE和平面ABB1A1所成的角的正弦值為。
(Ⅱ)依題意，得A1(0，0，1)，，
設(shè)n=(x，y，z)是平面A1BE的一個(gè)法向量，
則由，，得，
所以，
取z=2，得n=(2，1，2)；
設(shè)F是棱C1D1上的點(diǎn)，則F(t，1，1)(0≤t≤1)，
又B1(1，0，1)，所以，
而B1F平面A1BE，
于是=0
F為C1D1的中點(diǎn)．
這說明在棱C1D1上存在點(diǎn)F(C1D1的中點(diǎn))，使B1F∥平面A1BE。
練習(xí)冊系列答案
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精英家教網(wǎng)如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為AB的中點(diǎn)
（1）若F為AA1的中點(diǎn)，求證：EF∥面DD1C1C；
（2）若F為AA1的中點(diǎn)，求二面角A-EC-D1的余弦值．

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12、如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，P為中截面的中心，則△PA1C1在該正方體各個(gè)面上的射影可能是（　�。�

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