Question

已知雙曲線C₁：．
（1）求與雙曲線C₁有相同焦點(diǎn)，且過(guò)點(diǎn)P（4，）的雙曲線C₂的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）直線l：y=x+m分別交雙曲線C₁的兩條漸近線于A、B兩點(diǎn)．當(dāng)時(shí)，求實(shí)數(shù)m的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）先確定雙曲線C₁：的焦點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)雙曲線C₂與雙曲線C₁有相同焦點(diǎn)，且過(guò)點(diǎn)P（4，），建立方程組，從而可求雙曲線C₂的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）直線方程與雙曲線C₁的兩條漸近線聯(lián)立，求出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)用坐標(biāo)，利用數(shù)量積，即可求得實(shí)數(shù)m的值．
解答：解：（1）∵雙曲線C₁：，
∴焦點(diǎn)坐標(biāo)為（，0），（，0）
設(shè)雙曲線C₂的標(biāo)準(zhǔn)方程為（a＞0，b＞0），
∵雙曲線C₂與雙曲線C₁有相同焦點(diǎn)，且過(guò)點(diǎn)P（4，）
∴，解得
∴雙曲線C₂的標(biāo)準(zhǔn)方程為
（2）雙曲線C₁的兩條漸近線為y=2x，y=-2x
由，可得x=m，y=2m，∴A（m，2m）
由，可得x=-m，y=m，∴B（-m，m）
∴
∵
∴m²=3
∴
點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)，考查直線與雙曲線的位置關(guān)系，考查向量的數(shù)量積，聯(lián)立方程組是關(guān)鍵．