Question

【題目】已知圓過點(diǎn)，且圓心在直線上，過點(diǎn)的直線交圓于兩點(diǎn)，過點(diǎn)分別做圓的切線，記為.

（Ⅰ）求圓的方程；

（Ⅱ）求證：直線的交點(diǎn)都在同一條直線上，并求出這條直線的方程.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）直線的交點(diǎn)都在直線同一條直線上，且直線方程為.

【解析】

（Ⅰ）設(shè)圓的方程為

弦的中點(diǎn)，又 ，故的垂直平分線的方程

因?yàn)閳A心是的垂直平分線與直線的交點(diǎn)，由，得，即圓心

又半徑，即可得到圓的方程；

（Ⅱ）設(shè)，直線的交點(diǎn)

若為直線上任意一點(diǎn)，則,得

∴，即處的圓的切線方程

同理可得，在點(diǎn)處的圓的切線方程為

由直線過點(diǎn)可推出點(diǎn)滿足方程

即直線的方程為 ，

又直線過點(diǎn)即

由此可得到直線的交點(diǎn)都在直線同一條直線上，且直線方程為.

（Ⅰ）設(shè)圓的方程為

弦的中點(diǎn)

又

∴的垂直平分線的方程：

即

圓心是的垂直平分線與直線的交點(diǎn)

∴由，得，即圓心

又半徑

∴圓的方程為

（Ⅱ）設(shè)，直線的交點(diǎn)

若為直線上任意一點(diǎn)，則

,得，

∵

∴，即處的圓的切線方程

同理可得，在點(diǎn)處的圓的切線方程為

由直線過點(diǎn)

∴,,

∴點(diǎn)滿足方程

即直線的方程為 ，

又直線過點(diǎn)

∴，即

∴直線的交點(diǎn)都在直線同一條直線上，且直線方程為.