Question

15．已知m∈R，命題p：對任意x∈[0，8]，不等式lo${g}_{\frac{1}{3}}$（x+1）≥m²-3m恒成立；命題q：對任意x∈R，不等式|1+sin2x-cos2x|≤2m|cos（x-$\frac{π}{4}$）|恒成立．
（1）若p為真命題，求m的取值范圍；
（2）若p且q為假，p或q為真，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用對數(shù)的運算性質、不等式的性質即可得出；
（2）對于命題q：對任意x∈R，不等式|1+sin2x-cos2x|≤2m|cos（x-$\frac{π}{4}$）|恒成立，化簡可得：m$≥\sqrt{2}$|sinx|，即命題q：$m≥\sqrt{2}$．由于p且q為假，p或q為真，可得p與q必然一真一假，解出即可得出．

解答 解：（1）命題p：對任意x∈[0，8]，不等式lo${g}_{\frac{1}{3}}$（x+1）≥m²-3m恒成立，
∴（x+1）_max≤$（\frac{1}{3}）^{{m}^{2}-3m}$，
∴9≤$（\frac{1}{3}）^{{m}^{2}-3m}$，化為m²-3m+2≤0，解得1≤m≤2．
（2）對于命題q：對任意x∈R，不等式|1+sin2x-cos2x|≤2m|cos（x-$\frac{π}{4}$）|恒成立，
∴|2sinx（sinx+cosx）|≤$\sqrt{2}$m|sinx+cosx|，∴m$≥\sqrt{2}$|sinx|，
即命題q：$m≥\sqrt{2}$．∵p且q為假，p或q為真，∴p與q必然一真一假，
∴$\left\{\begin{array}{l}{1≤m≤2}\\{m＜\sqrt{2}}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{m＜1或m＞2}\\{m≥\sqrt{2}}\end{array}\right.$．
解得$1≤m＜\sqrt{2}$，或m＞2．

點評 本題考查了對數(shù)的運算性質、不等式的性質、三角函數(shù)的化簡、倍角公式和差公式、簡易邏輯的判定方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．