Question

如圖所示，橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的一個焦點為 F（1，0），且過點(

2

，

6

2

)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）已知A、B為橢圓上的點，且直線AB垂直于x軸，直線l：x=4與x軸交于點N，直線AF與BN交于點M．
（�。┣笞C：點M恒在橢圓C上；
（ⅱ）求△AMN面積的最大值．

Answer 1

分析：（1）由已知中橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的一個焦點為 F（1，0），且過點(

2

，

6

2

)．我們可得c=1，進而求出b²，a²的值，即可得到橢圓C的方程；
（2）（i）由題可設A（m，n），則B（m，-n）（n≠0），則

m2

4

+

n2

3

=1，進而求出AF與BN的方程，設M（x₀，y₀），可得x₀=

5m-8

2m-5

，y₀=

3n

2m-5

代入橢圓方程可得結論．
（ⅱ）設AM的方程為x=ty+1，代入橢圓方程得（3t²+4）y²+6ty-9=0，設A（x₁，y₁）、M（x₂，y₂），則有y₁+y₂=

-6t

3t2+4

，y₁•y₂=

-9

3t2+4

，進而|y₁-y₂|的最大值，進而，根據△AMN的面積S△AMN=

1

2

|NF|•|y₁-y₂|可得答案．

解答：解：（1）∵橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的一個焦點為 F（1，0），
∴c=1，
又∵橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1過點(

2

，

6

2

)
∴

2

b2+1

+

3

2b2

=1，
解得b²=3，a²=4，
所以橢圓C的方程為

x2

4

+

y2

3

=1…（3分）
（2）（i）證明：由題意得F（1，0）、N（4，0）．
設A（m，n），則B（m，-n）（n≠0），

m2

4

+

n2

3

=1
AF與BN的方程分別為：n（x-1）-（m-1）y=0，n（x-4）+（m-4）y=0．
設M（x₀，y₀），則有
n（x₀-1）-（m-1）y₀=0，且n（x₀-4）+（m-4）y₀=0．
由上得x₀=

5m-8

2m-5

，y₀=

3n

2m-5

                      …（6分）
由于

x 2 0

4

+

y 2 0

3

=

(5m-8)2

4(2m-5)2

+

(3n)2

3(2m-5)2

=

(5m-8)2+12n2

4(2m-5)2

=

(5m-8)2+36-9m2

4(2m-5)2

=1
所以點M恒在橢圓C上．             …（8分）
（ⅱ）解：設AM的方程為x=ty+1，代入

x2

4

+

y2

3

=1，
得（3t²+4）y²+6ty-9=0
設A（x₁，y₁）、M（x₂，y₂），則有y₁+y₂=

-6t

3t2+4

，y₁•y₂=

-9

3t2+4

，．
|y₁-y₂|=

(y1+y2)2-4y1y2

=

12 t2+1

3t2+4

．…（10分）
令

t2+1

=λ（λ≥1），則
|y₁-y₂|=

12λ

3λ2+1

=

12

3λ+ 1 λ

因為函數y=3λ+

1

λ

在[1，+∞）為增函數，
所以當λ=1即t=0時，函數y=3λ+

1

λ

有最小值4．
即t=0時，|y₁-y₂|有最大值3，
△AMN的面積S△AMN=

1

2

|NF|•|y₁-y₂|有最大值 

9

2

．…（13分）

點評：本題考查的知識點是直線與圓錐曲線的綜合問題，其中根據已知條件求出橢圓的標準方程是解答本題的關鍵．