Question

16．在平行四邊形ABCD中，AP⊥BD于P，AP=3，則$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{AC}$的值為（　�。�

• A． 3
• B． 6
• C． 9
• D． 18

Answer 1

分析 設對角線AC、BD相交于O點，根據平行四邊形的性質與向量加法法則，得到$\overrightarrow{AC}$=2$\overrightarrow{AO}$=2（$\overrightarrow{AP}$+$\overrightarrow{PO}$），從而可得$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{AC}$=2$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{AO}$=2${\overrightarrow{AP}}^{2}$+2$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{PO}$．再由$\overrightarrow{AP}$²=$\overrightarrow{|AP|}$²=9且$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{PO}$=0，代入前面的式子即可得到$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{AC}$的值．

解答 解：設對角線AC、BD相交于O點，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴$\overrightarrow{AC}$=2$\overrightarrow{AO}$=2（$\overrightarrow{AP}$+$\overrightarrow{PO}$），
因此，$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{AP}•2\overrightarrow{AO}$=2$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{AO}$
=2$\overrightarrow{AP}$•（$\overrightarrow{AP}$+$\overrightarrow{PO}$）=2${\overrightarrow{AP}}^{2}$+2$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{PO}$，
∵$\overrightarrow{|AP|}$=3，$\overrightarrow{AP}$⊥$\overrightarrow{PO}$，
∴$\overrightarrow{AP}$²=$\overrightarrow{|AP|}$²=9，$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{PO}$=0，
由此可得$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{AC}$=2${\overrightarrow{AP}}^{2}$+0=2×9=18．
故選：D

點評 本題在平行四邊形中求向量的數量積，著重考查了平行四邊形的性質、向量的線性運算性質、向量的數量積及其運算性質等知識，屬于中檔題．