Question

15．討論關(guān)于x的方程x²-（a+a²）x+a³=0（a為常數(shù)）的根的情況．

Answer 1

分析 由條件利用判別式的符號(hào)，判斷方程的根的個(gè)數(shù)．

解答 解：由于此一元二次方程的判別式△=（a+a²）²-12a³=a⁴-10a³+a²=a² （a²-10a+1），
令△=0，求得a=0，或a=5-2$\sqrt{6}$，或 a=5+2$\sqrt{6}$．
故當(dāng)a=0，或a=5-2$\sqrt{6}$，或 a=5+2$\sqrt{6}$時(shí)，△=0，原方程有唯一的實(shí)數(shù)根；
故當(dāng)a＜0，或0＜a＜5-2$\sqrt{6}$，或 a＞5+2$\sqrt{6}$ 時(shí)，△＞0，原方程有2個(gè)不同的實(shí)數(shù)根．
當(dāng)5-2$\sqrt{6}$＜a＜5+2$\sqrt{6}$時(shí)，△=0．原方程沒有實(shí)數(shù)根．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查一元二次方程根的分布與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)的性質(zhì)，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．