Question

已知數列{a_n}具有性質：①a₁為整數；②對于任意的正整數n，當a_n為偶數時，；當a_n為奇數時，．
（1）若a₁=64，求數列{a_n}的通項公式；
（2）若a₁，a₂，a₃成等差數列，求a₁的值；
（3）設（m≥3且m∈N），數列{a_n}的前n項和為S_n，求證：．

Answer 1

解：（1）由，可得，，…，，，，a₉=0，…，
即{a_n}的前7項成等比數列，從第8起數列的項均為0．　　  
故數列{a_n}的通項公式為．　       
（2）若a₁=4k（k∈Z）時，，，
由a₁，a₂，a₃成等差數列，可知即2（2k）=k+4k，解得k=0，故a₁=0；
若a₁=4k+1（k∈Z）時，，
由a₁，a₂，a₃成等差數列，可知2（2k）=（4k+1）+k，解得k=-1，故a₁=-3；
若a₁=4k+2（k∈Z）時，，，
由a₁，a₂，a₃成等差數列，可知2（2k+1）=（4k+2）+k，解得k=0，故a₁=2；
若a₁=4k+3（k∈Z）時，，，
由a₁，a₂，a₃成等差數列，可知2（2k+1）=（4k+3）+k，解得k=-1，故a₁=-1；
∴a₁的值為-3，-1，0，2．                              　  

（3）由（m≥3），可得，，，
若，則a_k是奇數，從而，
可得當3≤n≤m+1時，成立．                
又，a_m+2=0，…
故當n≤m時，a_n＞0；當n≥m+1時，a_n=0．            
故對于給定的m，S_n的最大值為a₁+a₂+…+a_m=（2^m-3）+（2^m-1-2）+（2^m-2-1）+（2^m-3-1）+…+（2¹-1）=（2^m+2^m-1+2^m-2+…+2¹）-m-3=2^m+1-m-5，
故．                                    

分析：（1）由，可得{a_n}的前7項成等比數列，從第8起數列的項均為0，從而利用分段函數的形式寫出數列{a_n}的通項公式即可；
（2）對a₁進行分類討論：若a₁=4k（k∈Z）時；若a₁=4k+1（k∈Z）時；若a₁=4k+2（k∈Z）時；若a₁=4k+3（k∈Z）時，結合等差數列的性質即可求出a₁的值；
（3）由（m≥3），可得a₂，a₃，a₄．若，則a_k是奇數，可得當3≤n≤m+1時，成立，又當n≤m時，a_n＞0；當n≥m+1時，a_n=0．故對于給定的m，S_n的最大值為2^m+1-m-5，即可證出結論．
點評：本小題主要考查等差數列的性質、等比數列的性質、數列與函數的綜合等基本知識，考查分析問題、解決問題的能力．