Question

4．已知定點P（0，1），動點Q滿足線段PQ的垂直平分線與拋物線y=x²相切，則Q的軌跡方程是x²+2（y+1）（y-1）²+2x²（y-1）=0．

Answer 1

分析 求出線段PQ的垂直平分線，代入拋物線y=x²，利用△=0，即可求出Q的軌跡方程．

解答 解：設Q（a，b），則線段PQ的垂直平分線方程為y-$\frac{b+1}{2}$=-$\frac{a}{b-1}$（x-$\frac{a}{2}$），即y=-$\frac{a}{b-1}$x+$\frac{b+1}{2}$+$\frac{{a}^{2}}{2（b-1）}$
代入y=x²，整理可得x²+$\frac{a}{b-1}$x-$\frac{b+1}{2}$-$\frac{{a}^{2}}{2（b-1）}$=0，
∵動點Q滿足線段PQ的垂直平分線與拋物線y=x²相切，
∴△=（$\frac{a}{b-1}$）²-4[-$\frac{b+1}{2}$-$\frac{{a}^{2}}{2（b-1）}$]=0，即a²+2（b+1）（b-1）²+2a²（b-1）=0，
∴Q的軌跡方程是x²+2（y+1）（y-1）²+2x²（y-1）=0，
故答案為：x²+2（y+1）（y-1）²+2x²（y-1）=0．

點評 本題考查軌跡方程，考查直線與拋物線的位置關系，考查學生的計算能力，求出線段PQ的垂直平分線方程是關鍵．