Question

5．已知橢圓的兩焦點(diǎn)為F₁（-1，0）、F₂（1，0），P為橢圓上一點(diǎn)，P到F₁的距離的最大值為3．
（1）求橢圓的方程；
（2）過點(diǎn)F₁的直線交橢圓與A、B兩點(diǎn)，求當(dāng)三角形ABF₂的面積最大時(shí)直線AB的方程．

Answer 1

分析 （1）直接利用橢圓的性質(zhì)，求出橢圓的幾何量，然后求解橢圓的方程．
（2）由橢圓左、右兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0）．設(shè)直線l的方程為my=x+1．與橢圓方程聯(lián)立消去x可得根與系數(shù)的關(guān)系，利用△ABF₂面積S=$\frac{1}{2}$|F₁F₂||y₁-y₂|可得關(guān)于m的表達(dá)式，再利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性即可得出三角形的面積的最大值，然后求解直線方程．

解答 解：（1）橢圓的兩焦點(diǎn)為F₁（-1，0）、F₂（1，0），P為橢圓上一點(diǎn)，P到F₁的距離的最大值為3．
可得c=1，a+c=3，解得a=2，b=$\sqrt{3}$．
所求的橢圓方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$．
（2）由橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$的左、右兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0）．
設(shè)直線l的方程為my=x+1．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}my=x+1\\ \frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1\end{array}\right.$，化為（4+3m²）y²-6my-9=0．
△＞0，
∴y₁+y₂=$\frac{6m}{4+3{m}^{2}}$，y₁y₂=$\frac{-9}{4+3{m}^{2}}$．
∴|y₁-y₂|=$\sqrt{{（{y}_{1}{+y}_{2}）}^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$=$\sqrt{{（\frac{6m}{4+3{m}^{2}}）}^{2}+\frac{36}{4+3{m}^{2}}}$=$12\sqrt{\frac{{m}^{2}+1}{{（4+3{m}^{2}）}^{2}}}$．
∴△ABF₂面積S=$\frac{1}{2}$|F₁F₂||y₁-y₂|=$12\sqrt{\frac{{m}^{2}+1}{{（4+3{m}^{2}）}^{2}}}$=12$\sqrt{\frac{1}{\frac{9{m}^{4}+24{m}^{2}+16}{{m}^{2}+1}}}$=12$\sqrt{\frac{1}{9{（m}^{2}+1）+\frac{1}{{m}^{2}+1}+6}}$，
令f（m）=$9{（m}^{2}+1）+\frac{1}{{m}^{2}+1}$，1+m²=t≥1．
g（t）=9t+$\frac{1}{t}$，
∵g′（t）=9-$\frac{1}{{t}^{2}}$＞0，
∴函數(shù)g（t）在[1，+∞）上單調(diào)遞增，
∴當(dāng)t=1時(shí)，g（t）取得最小值10．
即m=0時(shí)，f（m）取得最小值10．
∴△ABF₂面積S取得最大值$12×\sqrt{\frac{1}{10+6}}$=3．
即當(dāng)AB⊥x軸時(shí)，△ABF₂面積S取得最大值3．
所求直線方程為：x=-1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓方程的求法，焦點(diǎn)弦與三角形的面積最值問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系，考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．