Question

【題目】在如圖所示的幾何體中，面CDEF為正方形，面ABCD為等腰梯形，，，，.

（1）求證：平面FBC；

（2）線段ED上是否存在點(diǎn)Q，使平面平面QBC？證明你的結(jié)論.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）線段ED上不存在點(diǎn)Q，使平面平面QBC,證明見解析

【解析】

（1）利用余弦定理和勾股定理的逆定理可得，再利用已知和線面垂直的判定定理即可證明；
（2）通過建立空間直角坐標(biāo)系，利用兩個(gè)平面的法向量是否垂直來判斷即可.

解：（1）證明：，，

在中，由余弦定理可得，

，.

.

又，，

平面FBC.

（2）線段ED上不存在點(diǎn)Q，使平面平面QBC.

證明如下：

因?yàn)?/span>平面FBC，所以.

因?yàn)?/span>，所以平面ABCD.

所以CA，CF，CB兩兩互相垂直，

如圖建立的空間直角坐標(biāo)系.

在等腰梯形ABCD中，可得.

設(shè)，所以，，，，.

所以，，.

設(shè)平面EAC的法向量為，則，

所以，取，得.

假設(shè)線段ED上存在點(diǎn)Q，設(shè)，

所以.

設(shè)平面QBC的法向量為，則，

所以，

取，得.

要使平面平面QBC，只需，

即，此方程無解.

所以線段ED上不存在點(diǎn)Q，使平面平面QBC.