Question

17．已知函數(shù)f（x）=2sin（ωx+$\frac{π}{3}$）（ω＞0）的圖象上兩個(gè)相鄰的最高點(diǎn)間的距離是π．
（1）求函數(shù)f（x）的表達(dá)式，并在平面直角坐標(biāo)系中用“五點(diǎn)法”作出該函數(shù)的一個(gè)周期內(nèi)的圖象；
（2）當(dāng)x∈[0，$\frac{π}{4}$]時(shí)，求函數(shù)f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）利用正弦函數(shù)的周期性求出ω，可得函數(shù)的解析式，再利用五點(diǎn)法作y=Asin（ωx+φ）在一個(gè)周期上的簡圖．
（2）由條件利用正弦函數(shù)的定義域和值域，求得函數(shù)f（x）的值域．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=2sin（ωx+$\frac{π}{3}$）（ω＞0）的圖象上兩個(gè)相鄰的最高點(diǎn)間的距離是$\frac{2π}{ω}$=π，
∴ω=2，f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）．
列表：

2x+$\frac{π}{3}$	0	$\frac{π}{2}$	π	$\frac{3π}{2}$	2π
x	-$\frac{π}{6}$	$\frac{π}{12}$	$\frac{π}{3}$	$\frac{7π}{12}$	$\frac{5π}{6}$
f（x）	0	2	0	-2	0

作圖：

（2）當(dāng)x∈[0，$\frac{π}{4}$]時(shí)，2x+$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{5π}{6}$]，sin（2x+$\frac{π}{3}$）∈[$\frac{1}{2}$，1]，函數(shù)f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）∈[1，2]，
即函數(shù)f（x）的值域?yàn)閇1，2]．

點(diǎn)評 本題主要考查函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的周期性，用五點(diǎn)法作y=Asin（ωx+φ）在一個(gè)周期上的簡圖，正弦函數(shù)的定義域和值域，屬于基礎(chǔ)題．