Question

【題目】如圖，在四棱錐中，是等邊三角形，，，.

（1）若，求三棱錐的體積；

（2）若，則在線段上是否存在一點，使平面平面.若存在，求線段的長；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，

【解析】

（1）由得，再證平面，即可計算出三棱錐的體積；

（2）當是的三等分點時，滿足條件. 作，交于，連接，可證明，進而證明平面平面.

（1）因為是等邊三角形，，所以.又因為，，

所以，所以.

又，平面，，所以平面.

所以三棱錐的體積；

（2）在線段上存在一點，使平面平面.此時.

理由如下：

如圖，作，交于，連接，

因為，所以是的三等分點，可得，

因為，，，

所以，因為，所以，

因為，所以，所以，

因為，所以，所以，

因為平面，平面，所以平面，

又，平面，平面，所以平面，

因為，平面，所以平面平面，

所以在線段上存在一點，使平面平面.此時.