Question

已知函數(shù)f（x）=ax³+x²-ax，其中常數(shù)a∈R，x∈R．
（1）若函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，2）上不是單調(diào)函數(shù)，試求a的取值范圍；
（2）如果存在a∈（-∞，-1]，使函數(shù)h（x）=f（x）+f′（x），x∈[-1，b]（b＞-1），在x=-1處取得最小值，試求b的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由f′（x）=3ax²+2x-a=0，得．令，則，由此能求出a的范圍．
（2）由h（x）=ax³+（3a+1）x²+（2-a）x-a，知h（x）≥h（-1）在區(qū)間[-1，b]上恒成立，令ϕ（x）=ax²+（2a+1）x+（1-3a），由a∈（-∞，-1]知其圖象是開口向下的拋物線，故它在閉區(qū)間的最小值必在區(qū)間端點(diǎn)處取得．由此能求出b的最大值．
解答：解：（1）由f′（x）=3ax²+2x-a=0，
得，
令，
則，
所以在區(qū)間（1，2）上遞增，其值域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131101230403648106672/SYS201311012304036481066021_DA/7.png">，
所以a的范圍是．
（2）h（x）=ax³+（3a+1）x²+（2-a）x-a，
據(jù)題知，h（x）≥h（-1）在區(qū)間[-1，b]上恒成立，
即：（x+1）（ax²+（2a+1）x+（1-3a））≥0…①
當(dāng)x=-1時(shí)，不等式①成立；
當(dāng)-1＜x≤b時(shí)，不等式①可化為ax²+（2a+1）x+（1-3a）≥0…②
令ϕ（x）=ax²+（2a+1）x+（1-3a），
由a∈（-∞，-1]知其圖象是開口向下的拋物線，
故它在閉區(qū)間的最小值必在區(qū)間端點(diǎn)處取得．
又ϕ（-1）=-4a＞0，故不等式②成立的充要條件是ϕ（b）≥0，
整理得：在a∈（-∞，-1]上有解，
所以，
解得，
所以b的最大值為．
點(diǎn)評：本題考查利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)最值的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．對數(shù)學(xué)思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強(qiáng)，難度大，是高考的重點(diǎn)．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．