Question

拋物線y²=4x的焦點(diǎn)在直線y=x-1上滑動(dòng),對(duì)稱軸作平行移動(dòng),試問能否滑到使拋物線截直線y=x+4所得的弦長(zhǎng)與截y軸所得的弦長(zhǎng)相等?若能,求出拋物線的方程;若不能,請(qǐng)說明理由.

Answer 1

思路分析:由題設(shè)寫出拋物線的焦點(diǎn)在直線y=x-1上任一點(diǎn)時(shí)的方程,與直線y=x+4聯(lián)立,運(yùn)用弦長(zhǎng)公式求解.

解:設(shè)滿足條件的拋物線存在,并設(shè)拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(a,a-1),則頂點(diǎn)坐標(biāo)為(a-1,a-1),則拋物線方程為(y-a+1)²=4(x-a+1).         ①

令x=0.由①得y²+2(1-a)y+(1-a)²-4(1-a)=0,截y軸所得弦長(zhǎng)|AB|=|y₁-y₂|=

.

再將y=x+4代入①整理得x²+4(1-a)x+4(a²-6a+21)=0.截y=x+4所得弦長(zhǎng)|CD|= |x₁-x₂|=.

由|AB|=|CD|,∴16(1-a)=20(4a-20).

∴a=.此時(shí)拋物線方程為(y-)²=4(x-).