Question

20．已知函數(shù)f（x）=log_a（1-x）-log_a（1+x）（a＞0且a≠1）
（1）試判斷函數(shù)f（x）的奇偶性，并說明理由；
（2）若m，n∈（-1，1），求證：f（m）+f（n）=f（$\frac{m+n}{1+mn}$）．

Answer 1

分析 （1）先求出f（x）的定義域為（-1，1），然后求f（-x），比較f（x）便可得出該函數(shù)的奇偶性；
（2）分別求出f（m）+f（n），$f（\frac{m+n}{1+mn}）$，并進行對數(shù)的運算，便可證出f（m）+f（n）=$f（\frac{m+n}{1+mn}）$．

解答 解：（1）解$\left\{\begin{array}{l}{1-x＞0}\\{1+x＞0}\end{array}\right.$得，-1＜x＜1；
f（-x）=log_a（1+x）-log_a（1-x）=-f（x）；
∴f（x）為奇函數(shù)；
（2）證明：m，n∈（-1，1）；
∴f（m）+f（n）=log_a（1-m）-log_a（1+m）+log_a（1-n）-log_a（1+n）=$lo{g}_{a}\frac{1+mn-m-n}{1+mn+m+n}$；
$f（\frac{m+n}{1+mn}）=lo{g}_{a}（1-\frac{m+n}{1+mn}）-lo{g}_{a}（1+\frac{m+n}{1+mn}）$=$lo{g}_{a}\frac{1+mn-m-n}{1+mn+m+n}$；
∴$f（m）+f（n）=f（\frac{m+n}{1+mn}）$．

點評 考查函數(shù)奇偶性的定義及其判斷方法，已知函數(shù)求值，以及對數(shù)的運算．