Question

14．已知二項式（2x²+$\frac{1}{x}$）ⁿ的展開式的系數(shù)之和為243，則展開式中含x⁴項的系數(shù)是80．

Answer 1

分析 先由條件求得n=5，再求出二項式展開式的通項公式，在二項式展開式的通項公式中，令x的冪指數(shù)等于4，求得r的值，可得展開式中含x⁴項的系數(shù)．

解答 解：在 二項式（2x²+$\frac{1}{x}$）ⁿ的展開式中，令x=1，可得各項系數(shù)和為3ⁿ=23，∴n=5，
故二項式（2x²+$\frac{1}{x}$）ⁿ =（2x²+$\frac{1}{x}$）⁵的展開式的通項公式為T_r+1=${C}_{5}^{r}$•2^5-r•x^10-3r，
令10-3r=4，求得r=2，故展開式中含x⁴項的系數(shù)是${C}_{5}^{2}$•2³=80，
故答案為：80．

點評 本題主要考查二項式定理的應(yīng)用，二項式展開式的通項公式，二項式系數(shù)的性質(zhì)，屬基礎(chǔ)題．