Question

（2013•棗莊二模）已知數(shù)列{a_n}滿足：2a1+2a2+…+2an-1+2an=2n+1-2，n∈N*．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）設(shè)bn=

2

anan+1

，數(shù)列{b_n}的前n項和為T_n．若存在實數(shù)λ，使得λ≥T_n，試求出實數(shù)λ的最小值．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)n≥2時，由2a1+2a2+…+2an-1+2an=2ⁿ⁺¹-2，2a1+2a2+…+2an-1=2ⁿ-2，相減即可得出a_n，當(dāng)n=1時，單獨考慮；
（2）利用（1）的結(jié)論即可得到b_n，利用裂項求和即可得出T_n，進(jìn)而得出數(shù)列{T_n}的單調(diào)性，即可得到λ的值．

解答：解：（1）當(dāng)n≥2時，∵2a1+2a2+…+2an-1+2an=2ⁿ⁺¹-2
2a1+2a2+…+2an-1=2ⁿ-2，
∴2an=(2n+1-2)-(2n-2)，即2an=2n．
當(dāng)n=1時，2a1=22-2，解得a₁=1，也符合上式．
∴數(shù)列{a_n}的通項公式為a_n=n；
（2）由（1）可知：bn=

2

anan+1

=

2

n(n+1)

=2(

1

n

-

1

n+1

)，
∴T_n=2[(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n

-

1

n+1

)]=2(1-

1

n+1

)．
∵Tn+1-Tn=2(1-

1

n+2

)-2(1-

1

n+1

)=

2

(n+1)(n+2)

＞0，
∴T_n+1＞T_n．?dāng)?shù)列{T_n}是單調(diào)遞增數(shù)列，
∴{T₁}的最小值為T₁=1．
由題意，λ≥數(shù)列{T_n}的最小值=1，
∴實數(shù)λ的最小值為1．

點評：本題綜合考查了求數(shù)列的通項公式、裂項求和方法、數(shù)列的單調(diào)性等基礎(chǔ)知識與基本技能，考查了推理能力和計算能力．