Question

7．已知從圓C：x²+y²+2x-4y+3=0外一點P（x₁，y₁）向該圓引一條切線，切點為M，O為坐標原點，且有|PM|=|PO|，則當|PM|取得最小值時點P的坐標為（-$\frac{3}{10}$，$\frac{3}{5}$）．

Answer 1

分析 ⊙C：x²+y²+2x-4y+3=0，化為標準方程，求出圓心C，半徑r．設(shè)P（x，y）．由切線的性質(zhì)可得：CM⊥PM，利用|PM|=|PO|，可得2x₁-4y₁+3=0．要使|PM|最小，只要|PO|最小即可．

解答 解：如圖所示，⊙C：x²+y²+2x-4y+3=0化為（x+1）²+（y-2）²=2，圓心C（-1，2），半徑r=$\sqrt{2}$．
因為|PM|=|PO|，
所以|PO|²+r²=|PC|²（C為圓心，r為圓的半徑），
所以x₁²+y₁²+2=（x₁+1）²+（y₁-2）²，即2x₁-4y₁+3=0．要使|PM|最小，只要|PO|最小即可．
當直線PO垂直于直線2x-4y+3=0時，即直線PO的方程為2x+y=0時，|PM|最小，此時P點即為兩直線的交點，得P點坐標（-$\frac{3}{10}$，$\frac{3}{5}$）．
故答案為：（-$\frac{3}{10}$，$\frac{3}{5}$）．

點評 本題考查了圓的切線的性質(zhì)、勾股定理、兩點之間的距離公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．