Question

已知拋物線y²=2px經(jīng)過(guò)點(diǎn)M（2，-），橢圓=1的右焦點(diǎn)恰為拋物線的焦點(diǎn)，且橢圓的離心率為．
（1）求拋物線與橢圓的方程；
（2）若P為橢圓上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，Q為過(guò)點(diǎn)P且垂直于x軸的直線上一點(diǎn)，=λ（λ≠0），試求點(diǎn)Q的軌跡．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用拋物線y²=2px經(jīng)過(guò)點(diǎn)M（2，-），確定拋物線方程，利用橢圓=1的右焦點(diǎn)恰為拋物線的焦點(diǎn)，且橢圓的離心率為，求出幾何量，即可求橢圓方程；
（2）設(shè)出P，Q的坐標(biāo)，表示出=λ（λ≠0），分類(lèi)討論，即可得出點(diǎn)Q的軌跡．
解答：解：（1）∵拋物線y²=2px經(jīng)過(guò)點(diǎn)M（2，-），
∴8=4p，∴p=2
∴拋物線的方程為y²=4x，其焦點(diǎn)為F（1，0），∴c=1
∵橢圓的離心率為，
∴a=2
∴b²=a²-c²=3
∴橢圓的方程為；
（2）設(shè)Q（x，y），x∈[-2，2]，設(shè)P（x，y），則
∴=
∵=λ（λ≠0），
∴
∴，x∈[-2，2]，
①λ²=，即時(shí)，點(diǎn)Q的軌跡方程為，x∈[-2，2]，軌跡是兩條平行于x軸的線段；
②λ²＜，即時(shí)，軌跡表示實(shí)軸在y軸上的雙曲線滿足x∈[-2，2]的部分；
③λ²＞，即時(shí)，軌跡表示長(zhǎng)軸在x軸上的橢圓滿足x∈[-2，2]的部分．
點(diǎn)評(píng)：本題考查拋物線、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查軌跡方程，考查分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．