Question

已知函數(shù)f（x）=cos2x+

3

sin2x
①求f（x）的最小正周期及其單調(diào)區(qū)間；
②當(dāng)x取何值時(shí)，f（x）取最大值？最大值是多少？
③在直角坐標(biāo)系內(nèi)，畫(huà)出f（x）在一個(gè)周期內(nèi)的圖象．

Answer 1

分析：①f（x）解析式利用二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)，再利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個(gè)角的正弦函數(shù)，找出ω的值，代入周期公式求出f（x）的最小正周期，根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
②令這個(gè)角為2kπ+

π

2

，k∈Z，求出f（x）最大值時(shí)x的值，且求出最大值即可；
③在直角坐標(biāo)系內(nèi)，做出f（x）在一個(gè)周期內(nèi)的圖象，如圖所示．

解答：解：f（x）=cos2x+

3

sin2x=2sin（2x+

π

6

），
①∵ω=2，∴f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π；
其單調(diào)增區(qū)間為2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，
即：kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，k∈Z，
則f（x）的單調(diào)減區(qū)間是[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]，k∈Z；
②當(dāng)2x+

π

6

=2kπ+

π

2

，k∈Z，即x=kπ+

π

6

，k∈Z時(shí)，f（x）取最大值，最大值為2；
③在直角坐標(biāo)系內(nèi)，畫(huà)出f（x）在一個(gè)周期內(nèi)的圖象，如圖所示；

點(diǎn)評(píng)：此題考查了兩角和與差的正弦函數(shù)公式，二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式，正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，以及正弦函數(shù)的單調(diào)性，熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵．