Question

已知f（x）=（1+x）^α（1+）^β（α，β，x∈R⁺），
（1）求f（x）的最小值；
（2）如果y＞0，求證：（）^α+β≤（）^α•（）^β；
（3）如果α₁，α₂，…α_n，β₁，β₂，…β_n＞0，求證：（）^{α1+α2+…+αn}≤（）^α1•（）^α2…（）^αn．

Answer 1

（1）解：f′（x）=α（1+x）^α-1（1+）^β+（1+x）^α•β（1+）^β-1•（-1）•=，
∵x∈（，∞）時f′（x）＞0，x∈（0，）時，f′（x）＜0．
∴f（x）_max=f（）=（）^α（）^β．
（2）證：∵f（）≤f（），∴（）^α•（）^β≤（）^α•（）^β，
即（）^α+β≤（）^α•（）^β．
（3）當n=2時，由（2）可知（）^α1+α2≤（）^α1•（）^α2，
設n=k時，（）^{α1+α2+…+αn}≤（）^α1•（）^α2…（）^αn，
當n=k+1時，（）^{α1+α2+…+αn+αn+1}
=[]^{（α1+α2+…+αn）+αn+1}
≤（）^{α1+α2+…+αn}•（）^αn+1
≤（）^α1•（）^α2…（）^αn•（）^αn+1．
所以，結論對一切n成立．
分析：（1）先求導函數(shù)得f′（x）=，從而可知x∈（，+∞）時f′（x）＞0，x∈（0，）時，f′（x）＜0．故可求f（x）的最小值；
（2）根據(jù)f（）≤f（），可得（）^α•（）^β≤（）^α•（）^β，從而得證；
（3）利用數(shù)學歸納法證明，當n=2時，由（2）可知（）^α1+α2≤（）^α1•（）^α2，假設n=k時，成立，即（）^{α1+α2+…+αn}≤（）^α1•（）^α2…（）^αn，再證明當n=k+1時也，成立．
點評：本題以函數(shù)為載體，考查導數(shù)的運用，考查函數(shù)與不等式的綜合，考查數(shù)學歸納法，有一定的綜合性．