Question

已知命題p:1∈{x|x²＜a},q:2∈{x|x²＜a}.

(1)當a為何值時,“p或q”為真命題；

（2）當a為何值時，“p且q”為真命題.

Answer 1

解:若命題p為真,則a＞1.

若命題q為真,則a＞4.

若“p或q”為真，則a∈{a|a＞1}∪{a|a＞4}={a|a＞1}.

若“p且q”為真，則a∈{a|a＞1}∩{a|a＞4}={a|a＞4}.

例5 命題甲:方程x²+mx+1=0有兩個相異負根;命題乙:方程4x²+4(m-2)x+1=0無實根,這兩個命題有且只有一個成立,求m的取值范圍.

解:使命題甲成立的m的集合為A,使命題乙成立的m的集合為B,有且只有一個命題成立是求A∩(B)與(A)∩B的并集.

使命題甲成立的條件是m＞2,

∴集合A={m|m＞2}.

使命題乙成立的條件是Δ₂=16(m-2)²-16＜0,

∴1＜m＜3.∴集合B={m|1＜m＜3}.

若命題甲、乙有且只有一個成立,則有①m∈［A∩(B)］或②m∈［(A)∩B］.

若為①,則有A∩(B)={m|m＞2}∩{m|m≤1,或m≥3}={m|m≥3};

若為②,則有

B∩(A)={m|1＜m＜3}∩{m|m≤2}={m|1＜m≤2}.

綜合①②可知,所求m的取值范圍是{m|1＜m≤2,或m≥3}.

點評:(1)本題體現(xiàn)了集合語言、集合思想的重要作用;

(2)用集合語言來表示m的范圍既準確又簡明;

(3)今后注意結合問題具體情況,運用交集思想、并集思想、補集思想.