Question

9．已知F₁，F(xiàn)₂是雙曲線C：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0$，b＞0）的左、右焦點(diǎn)，若直線y=2x與雙曲線C交于P、Q兩點(diǎn)，且四邊形PF₁QF₂是矩形，則雙曲線的離心率為（　�。�

• A． $5-2\sqrt{5}$
• B． $5+2\sqrt{5}$
• C． $\sqrt{5+2\sqrt{5}}$
• D． $\sqrt{5-2\sqrt{5}}$

Answer 1

分析 由題意，矩形的對(duì)角線長(zhǎng)相等，由此建立方程，找出a，c的關(guān)系，即可求出雙曲線的離心率．

解答 解：由題意，矩形的對(duì)角線長(zhǎng)相等，
y=2x代入$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0$，b＞0），可得x=±$\sqrt{\frac{{a}^{2}^{2}}{^{2}-4{a}^{2}}}$，y=±2$\sqrt{\frac{{a}^{2}^{2}}{^{2}-4{a}^{2}}}$，
∴$\frac{5{a}^{2}^{2}}{^{2}-4{a}^{2}}$=c²，
∴5a²b²=（b²-4a²）c²，
∴5a²（c²-a²）=（c²-5a²）c²，
∴e⁴-10e²+5=0，
∵e＞1，∴e²=5+2$\sqrt{5}$，
∴e=$\sqrt{5+2\sqrt{5}}$．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的離心率，考查矩形的性質(zhì)，確定a，c的關(guān)系是關(guān)鍵，屬于中檔題．