Question

 

已知函數(shù)，，且）．

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）若，關(guān)于的方程有唯一解，求a的值.

 

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 （1）由已知得x＞0且．

當(dāng)k是奇數(shù)時，，則f(x)在(0,+)上是增函數(shù);       ……………3分

當(dāng)k是偶數(shù)時，則.　    ……………………5分

所以當(dāng)x時，，當(dāng)x時，.

故當(dāng)k是偶數(shù)時，f (x)在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)．………………7分

（2）若，則.

記g (x) = f (x) – 2ax = x ² – 2 a xlnx – 2ax, ,

若方程f(x)=2ax有唯一解，即g(x)=0有唯一解；     …………………………9分

令,得.因為，

所以（舍去），.  ……………………11分

當(dāng)時，，在是單調(diào)遞減函數(shù)；

當(dāng)時，，在上是單調(diào)遞增函數(shù)．

當(dāng)x=x₂時, ，.        …………………………12分

因為有唯一解，所以.

則 即    …………………………13分

兩式相減得因為a>0，所以.……14分

設(shè)函數(shù)，

因為在x>0時，h (x)是增函數(shù)，所以h (x) = 0至多有一解．

因為h (1) = 0，所以方程(*)的解為x ₂ = 1，從而解得…………16分