Question

（2011•河北區(qū)一模）已知圓C1：x2+y2+2x+ay-3=0和圓C2：x2+y2-4x-2y-9=0的公共弦長為2

6

，則實(shí)數(shù)a的值為

4或-

20

7

．

Answer 1

分析：圓C₁是以（-1，-

a

2

）為圓心，以

16+a2

2

為半徑的圓，圓C₂是以（2，1）為圓心，以

14

為半徑的圓，利用弦長之半，弦心距及圓的半徑組成的直角三角形及兩圓心之間的距離即可求得a的值．

解答：解：依題意，圓C₁是以（-1，-

a

2

）為圓心，以

16+a2

2

為半徑的圓，圓C₂是以（2，1）為圓心，以

14

為半徑的圓，
∵圓C₁與圓C₂的公共弦長為2

6

，兩圓心之間的距離|C₁C₂|=

[2-(-1)]2+[1-(- a 2 )]2

=

a2 4 +a+10

，
∵在圓C₁中，由弦長之半

6

，弦心距d₁及圓的半徑

16+a2

2

組成的直角三角形，
∴d₁=

16+a2 4 -6

=

a2-8 4

；
同理可求，圓C₂中的弦心距d₂=2

2

．
∵d₁+d₂=|C₁C₂|，
∴

a2 4 +a+10

=

a2-8 4

+2

2

，
兩邊平方，得：

a2

4

+a+10=

a2

4

-2+8+4

2

•

a2-8 4

，
整理得：7a²-8a-80=0，即（a-4）（7a+20）=0，
∴a=4或a=-

20

7

．
故答案為：a=4或a=-

20

7

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查圓與圓的位置關(guān)系及其判定，考查方程思想與推理運(yùn)算能力，弦長之半，弦心距及圓的半徑組成的直角三角形的應(yīng)用是解決問題之關(guān)鍵，屬于中檔題．