Question

8．經(jīng)過(guò)橢圓$\frac{x^2}{2}$+y²=1的左焦點(diǎn)F₁作傾斜角為$\frac{π}{3}$的直線l，直線l與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，則AB的長(zhǎng)為（　　）

• A． $\frac{{2\sqrt{2}}}{7}$
• B． $\frac{{4\sqrt{2}}}{7}$
• C． $\frac{{6\sqrt{2}}}{7}$
• D． $\frac{{8\sqrt{2}}}{7}$

Answer 1

分析 由題意可知直線方程為y=$\sqrt{3}$（x+1），將直線方程代入橢圓方程，由韋達(dá)定理可知x₁+x₂=-$\frac{12}{7}$，x₁x₂=$\frac{4}{7}$，根據(jù)弦長(zhǎng)公式即可求得AB的長(zhǎng)．

解答 解：∵橢圓方程：$\frac{x^2}{2}$+y²=1
∴焦點(diǎn)分別為F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0），
∵直線AB過(guò)左焦點(diǎn)F₁傾斜角為60°，
∴直線AB的方程為y=$\sqrt{3}$（x+1），
∴由$\left\{\begin{array}{l}{y=\sqrt{3}（x+1）}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，整理得7x²+12x+4=0
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），可得
x₁+x₂=-$\frac{12}{7}$，x₁x₂=$\frac{4}{7}$，
由現(xiàn)場(chǎng)公式丨AB丨=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{1+（\sqrt{3}）^{2}}$•$\sqrt{（-\frac{12}{7}）^{2}-4×\frac{4}{7}}$=$\frac{8\sqrt{2}}{7}$，
故答案選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)、直線與橢圓的位置關(guān)系，韋達(dá)定理及弦長(zhǎng)公式等知識(shí)，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．