Question

3．已知f（x）=$\frac{cos2x}{\sqrt{2}cos（\frac{π}{4}+x）•sinx}$
（1）若tanx=-$\frac{4}{3}$，求f（x）的值；
（2）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若f（A）=1+$\frac{\sqrt{3}}{3}$，b+c=2，求a的最小值．

Answer 1

分析 （1）f（x）解析式分子利用二倍角的余弦函數(shù)公式及平方差公式化簡，分母利用兩角和與差的余弦函數(shù)公式化簡，約分后利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系變形，將tanx的值代入計算即可求出值；
（2）由f（A）=1+$\frac{\sqrt{3}}{3}$，求出tanA的值，確定出A的度數(shù)，利用余弦定理列出關(guān)系式，再利用基本不等式即可求出a的最小值．

解答 解：（1）∵tanx=-$\frac{4}{3}$，
∴f（x）=$\frac{cos2x}{sinx（cosx-sinx）}$=$\frac{（cosx+sinx）（cosx-sinx）}{sinx（cosx-sinx）}$=$\frac{cosx+sinx}{sinx}$=$\frac{1+tanx}{tanx}$=$\frac{1-\frac{4}{3}}{-\frac{4}{3}}$=$\frac{1}{4}$；
（2）∵f（A）=$\frac{1+tanA}{tanA}$=1+$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴tanA=$\sqrt{3}$，
∵A為△ABC內(nèi)角，
∴A=$\frac{π}{3}$，
∵b+c=2，bc≤$\frac{（b+c）^{2}}{4}$，
∴由余弦定理得：a²=b²+c²-2bccosA=b²+c²-bc=（b+c）²-3bc≥（b+c）²-3×$\frac{（b+c）^{2}}{4}$=1，
則a的最小值為1．

點評 此題考查了同角三角函數(shù)間基本關(guān)系的運用，余弦定理，以及基本不等式的運用，熟練掌握基本關(guān)系是解本題的關(guān)鍵．