Question

如圖，在直三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，AC=BC=CC₁=1，M為AB的中點(diǎn)，A₁D=3DB₁.

(Ⅰ)求證：平面CMD上平面ABB₁A₁；

(Ⅱ)求點(diǎn)A₁到平面CMD的距離；

(Ⅲ)求MD與B₁C₁所成角的大�。�

Answer 1

(Ⅰ)證明：AC=CB=1，M是AB中點(diǎn)，∴CM⊥AB 

又∵A₁A⊥底面ABC，CM底面ABC

∴A₁A⊥CM，∴CM⊥平面A₁ABB₁

又CM平面CMD，∴平面CMD⊥平面ABB₁A₁

(Ⅱ)在平面A₁B內(nèi)，過A₁作A₁E⊥DM于E

∵平面A₁B⊥平面CMD，則A₁E⊥平面CMD

過D作DF⊥AB于F，DM=

∵∠A₁DE=∠DMF，∠A₁ED=∠DFM=90°

∴△A₁ED∽△DFM(6分)

∴即,∴A₁E=1

∴點(diǎn)A₁到平面CMD的距離為1

(Ⅲ)取AC中點(diǎn)G，連接GM、GD

∵GMBCB₁C₁，∴GM=

∴∠GMD或其補(bǔ)角為異面直線MD與B₁C₁所成的角

過D作DF⊥AB于F，DM=

連接GF在△GAF中

GF²=

∴DG²=GF²+FD²=

∴cos∠GMD=

∴異而直線MD與B₁C₁所成角為arccos