Question

已知兩圓x²+y²-2x-6y-1=0．x²+y²-10x-12y+m=0．
（1）m取何值時兩圓外切？
（2）m取何值時兩圓內切？
（3）當m=45時，求兩圓的公共弦所在直線的方程和公共弦的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）先把兩個圓的方程化為標準形式，求出圓心和半徑，再根據(jù)兩圓的圓心距等于兩圓的半徑之和，求得m的值．
（2）由兩圓的圓心距d==5 等于兩圓的半徑之差為|-，求得m的值．
（3）當m=45時，把兩個圓的方程相減，可得公共弦所在的直線方程．求出第一個圓的圓心（1，3）到公共弦所在的直線的距離d，再利用弦長公式求得弦長．
解答：解：（1）由已知可得兩個圓的方程分別為（x-1）²+（y-3）²=11、（x-5）²+（y-6）²=61-m，
兩圓的圓心距d==5，兩圓的半徑之和為+，
由兩圓的半徑之和為+=5，可得 m=25+10．
（2）由兩圓的圓心距d==5 等于兩圓的半徑之差為|-|，
即|-|=5，可得 -=5 （舍去），或  -=-5，解得m=25-10．
（3）當m=45時，兩圓的方程分別為 （x-1）²+（y-3）²=11、（x-5）²+（y-6）²=16，
把兩個圓的方程相減，可得公共弦所在的直線方程為 4x+3y-23=0．
第一個圓的圓心（1，3）到公共弦所在的直線的距離為 d==2，可得弦長為 2=2．
點評：本題主要考查兩個圓的位置關系的判斷方法，點到直線的距離公式、弦長公式的應用，屬于中檔題．